Подскажите пожалуйста, вообще реально ли снять квартиру на 1-2 месяца в Белграде ?

На airbnb, букинге можно.

Можете на airbnb, букинге букировать на несколько дней и сразу договариваться об 1-2 мес, прося скидку ну 30-40% где-нить от полной стоимости….

С Airbnb вам нужно выехать в любую страну кроме РФ и Беларуссия и бронировать уже так. Букинг работает и в РФ. Ни там ни там вы нормальных вариантов без банковской карты не РФ не найдете.