При переезде внутри Сербии нужно делать каждый раз белый картон? Либо достаточно сделать при въезде страну и все? Интересует именно перемещения внутри страны, понятно что при выезде нужно делать еще раз)

По-правильному нужно при любом переезде. Понятно, что если вы на пару дней в другой город едете, то это, пожалуй, будет излишним, но о постоянном месте пребывания вроде бы надо давать знать. Опять же, если всё по-правильному делать.