Можно ли при смене работодателя начать официально работать у нового работодателя не дожидаясь переоформления внж?

Официально сомнительно. У вас же по факту документов, подтверждающих право работы на нового работодателя, не будет. На практике начинают, но это украинцы я не знаю, как рекрутерские компании это оформляют.