Подскажите, на Кипре лендлорд говорит что я должен участвовать в оплате их какого-то refuse tax (это помимо оплаченного ранее выброса мусора) или это просто попытка стрясти денег под конец контракта?

Вывоз мусора это такая же коммуналка, только счёт , раз в год. Читайте контракт.

Вообще, как и говорят, по контракту, но обычная логика, применимая ранее вне контрактов (ну, до очередного бума ренты), означала, что все, что можно перевести на тенанта или можно "выключить", вроде электричества, воды, интернета, оплачивается тенантом, все, что привязано к владельцу квартиры и не переводится (и не отключается), вроде налога на недвижку муниципалитета, вывоза мусора, отдельного счета за канализацию, платится владельцем-лендлордом. Такое в контракты даже не добавляли, а сейчас могли начать.

А как вы его ранее оплатили, без счета?