Был в Узбекистане в конце апреля, пользовался местной сим-картой, естественно не регистрировал IMEI телефона. Собираюсь снова в Узбекистан. Будет ли работать новая местная СИМ-карта с тем же телефоном?

Неа новый телефон с прежней симкой будет, а вот IMEI зашит внутри вашего устройства если двухсимочный аппарат - можно просто вставить в другой слот.

Нет не будет. Вам нужно ехать на центральную почту, платить штраф(он не большой) и регистрировать имей.