Если у меня уже есть белый картон, нужно ли мне каждый раз при смене квартиры получать новый? Или это не обязательно?

Формально - да, нужно регистрировать каждый новый адрес. Фактически - это не обязательно, я сам в первый месяц сменил 3 квартиры, но БК получал только для первой. При этом у меня не было проблем ни во время визарана, ни во время получения следующего БК.

При смене квартиры может и не так важно, никто не будет проверять ваш фактичеческий адрес. Обязательно при визаране.