Подскажите пожалуйста, как быть, если на момент жизни в Корее закончился загранпаспорт?

Надо в посольстве заранее начинать оформлять новый.

В российское посольство в Корее надо идти. Но если срок менее 6-ти месяцев, не пустят. Рекомендуется сделать заранее в России на 10 лет.

Можно за полгода начинать процедуру замены паспорта. Без проблем в посольстве или консульстве россии. Только это небыстрая история.