Подскажите, пожалуйста, есть ли проблемы посещения музеев или других мест мужчинам в майках и шортах в Катаре?

В музей в шортах ходить не комильфо. Не только в Дохе, а в своей жизни в целом) Запрещающая табличка на входе в музей искусств висит, по городу в шортах ходят и в различных ТЦ тоже. В "другие места" вероятнее всего пустят, если вы не мусульманскую мечеть имеете ввиду.