Мне при везде не проштамповали паспорт, это будет проблема при выезде из Азербайджана? Такое случается?

Случается. Проблем не должно быть - у пограничной службы Азербайджана электронный учёт въезда и выезда. Ваш паспорт отсканирован при въезде, и вы лично сфотографированы. Если спросят, где печать - смело говорите, что они сами и виноваты, раз не поставили. У пассажира нет обязанности следить за выполнением регламента работниками пограничной службы.