Подскажите, пожалуйста, в Италии, когда полиция приходит с проверкой для резиденции, они как-то сообщают заранее о своем приходе? И что будет если они придут, в момент когда меня нет дома?

Не уведомляют. Потом в почтовом ящике оставят вам , чтобы в течение скольких то дней вы явились.

Вообще не должны, чтобы вы не «подготовились» повесив свою фамилию на почтовый ящик, домофон и тд.