Надо ли регистрировать машину в районе проживания, чтобы не платить за парковку? Или как вообще здесь все устроено... платить за каждый день?

Получить право на льготную стоянку в зоне возможно только, если у Вас есть недвижимость в этом районе и Вы в ней прописаны. Боюсь, что белый картон не подойдет. В противном случае, Вы можете парковаться только на определенное время 1,2, 3 часа. Не думаю, что есть целодневный вариант. Разве что штрафы платить со скидкой 50% каждый день.