Подскажите, как пополнить карту наличными через банкомат в Милане? Желательно долларами (можно и евро). Есть ли вообще банкоматы с функцией пополнения счета?

Если карта итальянская - то можно. Другой страны - только в стране выдачи карты.

Только в стране выдачи карты.

Спрашивать в банках, могут ли вам сделать перевод SEPA на ваши реквизиты IBAN, к которым привязана карта. Без открытия счета у них. Срок перевода зависит от каждого банка.

В Италии через банкомат не пополняются карты.