Могут рабочую визу выдать после обозначенной даты в контракте?

Да, им концептуально все равно на дату начала договора, как показывает опыт. Хотя с рабочими визами дела чуть лучше, чем с научными.

Писать и звонить однозначно. За спрос денег не берут!

Вас спросят после одобрения визы о дате Вашего въезда в Германию. Этим днем (или на день позже) проставят начало визы. А контракт по приезду попросите работодателя исправить. Всем понятно обычно, что этот контракт никогда "вовремя" не стартует.