Виза действует еще 2 недели. Нужно будет по делам вернуться на какое-то время в Россию. Через какое время я могу снова подать на туристическую визу по приглашению?

Хоть сразу.

Тут зависит от того сколько вы пробыли в Италии. За полгода можно находиться не более 3х месяцев. Можете открыть визовый календарь и посчитать.

Вы можете подавать даже если эта еще не закончилась.