Еедем в монголию, у ребёнка паспорт кончается 22.07.23 Погранцы пропустят?

6 месяцев.

Нет.

В посольстве Монголии в России на этот счёт говорят, что пустят, но выехать должны до окончания срока действия паспорта.

Пропустят. Вы же только максимум на неделю едете! И про это скажите.