В Австрии Направление врача к другому врачу действует до конца квартала? А если оно выдано в конце квартала, то как?

На нем вроде указано до когда, но многим все равно и принимают даже просроченный. Если беспокоишься, то возьми просто новый в «регистратуре» у твоего врача.

«До квартала» такого определения про направление не слышала, только про врачей.

Там должна быть дата/срок. Мои направления были на месяц почти всегда.

Нет, это в Германии так. Тут такого нет. Тут чаще есть «срок годности».