Подскажите, пожалуйста, с российским водительским удостоверением можно брать в аренду авто и ездить в Азербайджане?

Можно, месяц точно.

Здравствуйте, до получения разрешения на проживания, вроде как можно, а после получения надо перевести на Азербайджанский образец.

Можно.