Можно ли другому человеку получить мой Теудат Зеут? Потребуется доверенность?

Потребуется.

Кому как повезет. Нам бросили в почтовый ящик через 3 недели после оформления. Соответственно, забрать мог кто угодно, у кого есть ключ от почтового ящика.

Может, если назовет код, выданный в мвд.

Почтальон МОЖЕТ спросить документы. Может попросить доверенность. Может ничего не попросить. А может вообще не быть никакого почтальона и ваш конверт останется валяться на почте.