Кто-то открывал счет в банке итальянском? Обычного подписанного контракта о проживании достаточно? Никуда не надо ходить заверять его и т. д?

Контракт регистрирует арендодатель (обязательно) и эта регистрация вам понадобится. Но в банке её могут и не попросить. Попросят кодиче фискале или тессеру санитарию и действующий внж. А дальше как повезет. С картой идентитой шансов больше чем с русским паспортом, но в целом возможно придётся обойти 3-15 разных отделений и банков прежде чем найдёте где вам откроют.