Подскажите, пожалуйста, есть ли какой-то нюанс при аренде квартиры в том числе, чтобы с этим договором податься на id в Корее? Нужно ли делать что-то вроде нашей прописки или для id достаточно просто заключить договор аренды?

Договор чтоб был просто прописан на ваш айди.

Если айди еще нет, номер, серию и фио по паспорту прописать надо будет и все.

Заключаете договор на паспорт, после получения айди перезаключаете на айди, делаете прописку-идете с айди и с договором в чумин центр к которому относитесь и на задней стороне айди впишут адрес.