Скажите, если в Венгрии работодатель настроен дальше с сотрудником работать, по каким причинам могут не продлить рабочее внж работнику или детям по воссоединению?

Маловероятно, только если с документами напортачить.

Чисто теоретически, если отсутствовал более 180 дней в год (хотя с рабочим ВНЖ это сложно). Или если паспорт заканчивается.

Например если дети не посещают школу и\или сад.