Подаюсь на продление ВНЖ Венгрии. Мне выдадут временную бумажку о разрешении на пребывание (на время процедуры продления). Могу ли я с этой бумажкой пересекать границы ЕС (на авто или самолетом) или категорически нет?

Если у вас будет действовать старое внж, тогда да. В противном случае нет, для возвращения нужна будет виза С или чтобы кто-то передал (а до этого получил вместо вас) карту внж новую.

Я бы даже в ЕС не стал ездить. Лучше сидеть ровно в Венгрии, пока не будут нормальные документы.