Подскажите пожалуйста, подавали на паспорт Кипра, как можно узнать статус готовности? есть ли какой-то номер, или сайт, на котором можно проверить процесс?

Никак. Ждать письма.

Можно съездить в Никосию и спросить. Я так делал в свое время. Не просто, но возможно. Сейчас вроде как рассматривают заявления 21го года.