Как проверяют деньги на карте банка работающей в ЕС? Смотрят в интернет банк?

Карта если не российского банка, то этого и достаточно. А все российские для них не работают в ЕС. То, что есть работающие карты они не знают и объяснять бесполезно.

Тут ключевой момент сейчас не в картах, а в том, аккредитован ли этот банк в Европе. Из таких банков с возможностью открыть счёт россиянам из России наверное только Raiffeisen банк. Или у вас есть счёт открытый в банке внутри ЕС. Все остальные банки сейчас для европейских чиновников не существуют.