Загран действует до августа, а поездка на соревнования в июне, в Улан-Батор возможен выезд со сроком истечения загранпаспорта в полтора месяца в данную страну?

Заграничный паспорт, срок действия которого должен не менее чем на 6 месяцев превышать дату предполагаемого выезда;

Пропустят вас.

Не пропустят, только продлевать. Аналогичная ситуация была.

Заезжайте через МАПП Кяхта (на авто или автобусе) - там очень большая вероятность, что пропустят. Если вылетаете из росс. города самолётом, то могут не пустить.