Если у мамы и ребенка разные фамилии - могут ли быть проблемы при въезде на Шри-Ланку?

Нет.

На российской границе попросят свидетельство о рождении. Я вожу на всякий еще нотариальную копию свидетельства на случай "вдруг спросят, а у меня есть", но не пригодилась за 5 лет ни разу, в том числе при выездах в шенген.(паспорт у деточки свой)

Нет, наши пограничники могут вопросы позадавать, но даже свидетельство смотреть не захотели.