Ставят ли штамп при пересечении сухопутной границы Кипра в сторону СК?

Не возникает ни у кого проблем.

Проблем не будет, кроме одной: Республика Кипр не считает переход на турецкую сторону покиданием своей территории, поэтому если заехать на юг и не выехать с острова через юг, когда южная виза кончится, можно легко попасть на просрочку визы юга.