После подачи на внж можно ли выезжать из Словакии в соседние страны, до получения карточки? Или необходимо обязательно находиться в Словакии. Знаю, что границ как таковых нет и никто обычно не проверяет это.

Категорически нельзя.

Нельзя. Верно сказали, что границ типа нет, но они есть. Если виза у вас истечет, то бумага, которую вам дали в МВД после подачи является основанием для пребывания в Словакии, но не где-либо ещё. Рисковать не стоит. Мне карточку дали до того, как истекла виза + у меня для подстраховки был открыт Шенген.