Может, кто-то сталкивался с такой ситуацией... У меня есть кипрская виза, которая начинает действовать с 17 июня.

Да, по шенгенской можно влететь и находиться на Кипре 90 дней.

Можно, но выехать с Кипра до 30 июня.

Если у Вас в шенгенской визе ещё останутся дни для пребывания (хотя бы 1 день), Вы сможете по ней влететь на Кипр, даже не имея визы Кипра.