По электронной мультвизе (которая за 60$), по истечению 3 мес., все равно нужен договор найма для легального пребывания и продления визы? В выданной визе указано, что она валидна полгода с момента регистрации. Не понимаю, где логика. Кто объяснит?

Да. Более того, Вы не можете быть по ней в стране больше 1 месяца. Логика в том, что на протяжении полугода Вы можете въезжать и выезжать по ней несколько раз. Тем не менее - каждое Ваше пребывание не может быть более 30 дней (именно 30, не 31). Так что механика действий такая: приехать по ней, до истечения 30 дней пойти в Гаузет, продлить ещё на 60 дней. Затем, до истечения 90 дней с даты въезда пойти в Гаузет снова с договором и податься на более длительное продление. *Не факт, что продление дадут ещё на полгода. Может быть и на 3 месяца. Даже с договором.