Подскажите, если я переехал на другую квартиру, то может ли хозяин старой квартиры, где у меня регистрация, её аннулировать? Обязательно ли теперь новую регу делать?

Нет не может.

Он это даже обязан сделать, так как вы не проживаете больше в его жилом помещении. Необходимо зарегистрироваться в новой квартире.

Вам нужно зарегистрироваться в новой квартире. При проживании не по адресу регистрации в случае проверки - штраф. Плюс имея регистрацию у вас больше шансов для отстаивания своих прав с Новым хозяином в случае чего (а «в случае чего» периодически у кого-то да случается). При перерегистрации в мфц старую аннулируют (у меня так было).