Подскажите, пожалуйста, может ли гражданин Азербайджана выехать на автомобиле в Грузию и затем в Турцию? Вообще на автомобиле есть какой-то вариант выезда для граждан Азербайджана в Турцию или только авиа?

Только авиа. Но вариант есть. Покупаете грузовой автомобиль фуру на своё имя, ставите его на учёт, как коммерческий транспорт, получаете допуск TIR для международных перевозок, и вуаля - едете на своём грузовом автомобиле, куда угодно.