При въезде в Южную Корею нужно сразу иметь обратный билет? Его проверяют? Или можно потом докупить?

Да, проверяют надо иметь.

Сегодня монголы просили показать , проверяют, купите с возвратом и потом сделайте возврат если подольше хотите задержаться . Сейчас сделала возврат да и летом из Вьетнама летели тоже просили билеты показать обратные или в третью страну ( летом была бронь до Монголии сделала прямо у стойки регистрации за 3 минуты на телефоне показала не платила конечно )