Забирают ли в миграции договор аренды квартиры? Пытаюсь его найти у себя, думаю, может быть там оставил.

Делайте копию договора и наклейте не нее Марку и зачеркните ее поставьте дату: есть калькулятор марок для договора аренды. Отдавайте им копию.