Моим родителям арендодательница отказала в съёме квартиры из-за кошки, это частые случаи на северном Кипре или в Киринее?

Это норма, если ранее не был извещен арендодатель о наличии домашнего животного.

Всегда нужно уточнять, бывает соглашаются, но 3 депозита просят, кошки портят мебель, как и собаки. Потом на вынос диваны, шторы и тд, все на замену нужно.

Частые конечно, как и по всему миру. Кошка это в большинстве случаев минус мягкая мебель, шторы. Если даже и найдете вариант, то это явно будет плюс пара депозитов к стоимости.