Едим с ребёнком на лечение на 3 неделе в этом случае нужно оформление белого картона. Если да, то подскажите как и кто его оформляет? На ребёнка 10 лет тоже нужно оформлять?

В любом случае, при пребывании в стране более 24-х часов оформляется регистрация иностранца. Сделать это должен отель, апартаменты, хозяин квартиры и т. д., где вы поселитесь. Уточняйте при бронировании их возможность сделать регистрацию.