Может была у кого-то подобная ситуация, подскажите. Еду с несовершеннолетним ребенком, разные фамилии, нужна согласие второго родителя? Запретов не каких нет.

Согласие не нужно . Берите обязательно (!) свидетельство о рождении , как доказательство того, что именно вы - мама.

Без согласия отца по моему наши пограничники не выпустят.

По закону о выезде из РФ согласие второго родителя не требуется. Берите с собой Свидетельство о рождении - оригинал или нотариально заверенная копия.