Подскажите, пожалуйста, из Узбекистана вывозить гражданам России небольшую сумму порядка 1000 долларов можно ? Не будет проблем ?

Не будет проблем, если валюты до 100 млн сум.

При ввозе, кстати, не любую сумму надо декларировать, а только свыше определенного предела. 1000$ значительно ниже этого предела.