Подскажите пожалуйста, с шенгенской визой итальянской и гражданством рф через границу Литвы пускают?

Если с и нет оснований, то не пустят.

Могут пустить если основания будут. Пишите письмо в погран сокжьу - опишите обстоятельства (работодатель, виза не Литвы, даты визита в мигрис для получения ВНЖ). Если они ответят положительно - можно пробовать. При проходе границы иметь все доки и переписку с погран службой подтверждающих цель визита. В апреле было два кейса пропуска по такому сценарию. Дальше может будет хуже Речь про поезд из РФ в LT. Но гарантии нет, все на усмотрение конкретной персоны - пограничника. Самолётом из др страны ЕС прилететь выглядит надёжнее.