У меня получение нового загранпаспорта 10 мая, а я планирую 4 июня на Бали. Пустят со свежим паспортом?

Пустят! Это со старым не пускают, который заканчивается.

Да, они пишут так криво, "срок действия не менее 6 месяцев"