Если паспорт РФ заканчивается в октябре, впустят ли в Израиль в мае пенсионера навестить родных (с обратным билетом через 10 дней)?

Это меньше, чем полгода получается до выезда из страны, думаю что нет.

Смотрите даты. На момент въезда в Израиль до окончания срока действия паспорта должно быть не менее шести месяцев.

Даже не пытайтесь. Делайте новый паспорт, пока есть время.