Подскажите у белого картона в Белграде есть какой-то срок действия? После визарана снова нужно делать его?

Да, после каждого визарана надо делать.

Формально, если не поставлена дата окончания, БК бессрочный, но если был выезд за границу, потом надо заново регистрироваться.

У бк, если в нем не указана точная дата окончания действия, срок действия 30 дней, т. е. на 30-й день вы должны выехать за границу Сербии, если у вас нет других оснований для дальнейшего легального пребывания на территории страны. Штампы ставят при въезде и выезде из Сербии (как и в любой другой загранице, впрочем). Есть вероятность, что бк не будут проверять, и в теории вы можете задержаться больше 30 дней, но в таком случае вы берете на себя риски словить штраф и депортацию, вот.

При повторном въезде на территорию Сербии формально вы должны заново оформлять белый картон.