Если кету одобрили осенью, зимой была в Корее, надо ли добавлять в кету, что была уже в этой стране?

Да.

@Александра: То есть один раз получаешь и можно по ней въезжать много раз на допустимое количество дней в течение 2 лет, это так?)

@Lera: Да.