Подскажите пожалуйста, если выехать на пару дней в Черногорию, то вернувшись надо заново белый картон получать? При этом не меняя арендованное жильё.

Нет, если ваши 30 дней не истекли.

Если у вас нет ВНЖ, то обязательно. По закону белый картон необходимо получить в течение суток с въезда в страну. Как только вы выезжаете, ваш белый картон формально теряет силу, хоть 30 дней прошло, хоть 1 день. Выехали - значит не действует. У белого картона нет срока, есть срок максимального пребывания вас в стране, он сейчас составляет 30 дней.