Подскажите, пожалуйста, можно ли технически сделать так при подаче на внж, что родители (как спонсоры) возьмут деньги в кредит для необходимой суммы депозита? Могут в таком случае возникнуть проблемы с происхождением этих денег?

У меня прокатывало, но может быть дозапрос о происхождении средств и возможно даже потребуют предоставить справку об отсутствии кредитов.

Наличие кредита показывать нельзя. Наоборот лучше приложить письмо об отсутствии кредитов. Если нет подходящей зп для формы 2ндфл или документов о продаже какого-либо имущества, ищите человека с большой зп и оформляйте, что деньги пооучили от него.

Теоретически можно. Но при подаче надо будет подписывать справку об отсутствии кредитов.