Подскажите, чтобы прописаться в новом месте в Германии, выписываться со старой квартиры не нужно, да? Это будет автоматически? И нужно ли что-нибудь, кроме своих документов, от владельца новой квартиры?

Почему не нужно? Процедура аналогичная, идете в КВР, там Вас выписывают со старого адреса и прописывают по новому, это также обязательно должно быть на пластике зафиксировано. Приносите свой контракт на жильё, на основе его и прописка.