Подскажите, какой минимальный срок действия российского загранпаспорта для приезда в Узбекистан? Если он заканчивается через месяц после даты планируемой поездки, пустят ли в таком случае?

Да, главное, чтобы вы уехали до окончания действия.

Срок действия паспорта должен быть не менее одного месяца с момента окончания поездки. Это при заезде в Узбекистан. Но не факт, что выпустят наши.