Подскажите, если у меня нет ВНЖ в Сербии, но надо сделать банковскую карту, в какой банк обратиться?

Альта или поштанска.

Я делал в поштанском, в райфе не открыли. В поштанском без проблем, за пару недель открыли и ещё пару недель получал карту.

Alta. Счет сразу же. Карты через неделю (дина и виза). Работает отлично. Приложение приемлемое (по меркам сербского банкинга). Копии паспортов (загран и внутренний) + трудовой договор РФ. Сотрудники говорят по-русски (если это важно) и по-английски.