как на Кипре сделать доверенность от лица одного родителя на то, чтобы другой родитель мог выписать ребенка из квартиры и прописать в другой квартире в Москве? Нужен мухтарис + апостилирование в Лимасоле?

Можно через госуслуги сделать выписку на ребёнка, второй подтверждает в своём ЛК.

Вы это уточняли на гос услугах? Мне сказали в январе этого года, что только личное присутствие обоих родителей. Доверенность модно сделать через рос консульство в лимасоле.