Можно ли мыться со включенным электрическим бойлером или надо подождать пока нагреется и выключить перед походом в душ?

Зависит от того, исправно ли его заземление.

В принципе можно.

Я моюсь, даже не задавался таким вопросом.

Можно.

Можно, но только первый раз осторожнее. Еще когда лампочку менять, надо во всей квартире отключать электричество, а не только сегмент лампочки.